問題は次の2つの平方根を簡略化することです： (2) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$ (3) $\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$

## 問題 1

1. 問題の内容

問題は次の2つの平方根を簡略化することです：

(2) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$

(3) $\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

平方根の中身が $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ の形になるように変形します。

(2) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$ の場合：

$\sqrt{10}$ を $ab$ と見ると、$a$ と $b$ の候補は $\sqrt{5}$ と $\sqrt{2}$ です。

$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2 = 7$ となり、7が平方根の中の最初の項と一致します。

よって、

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}|$

$\sqrt{5} > \sqrt{2}$ なので、

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$ の場合：

$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3}$ なので、$2\sqrt{3}$を$ab$と見ると、$a$と$b$の候補は$2$と$\sqrt{3}$です。

$2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$となり、8とは一致しません。

しかし、$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2 \sqrt{4} \sqrt{3} = 2 \sqrt{12}$ と考えることもできます。この場合、$a$と$b$の候補は$\sqrt{6}$と$\sqrt{2}$です。しかし$(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$なので、$a = \sqrt{6}$ と $b = \sqrt{2}$ を使うことができます。すると、

$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6} + \sqrt{2}| = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

もう一つの解法：

$4\sqrt{3} = 2\cdot 2\sqrt{3}$だから$ab = 2\sqrt{3}$とすると，$a$と$b$の候補は$2$と$\sqrt{3}$です。

$2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$なので、平方根の中の最初の項8とは一致しません。

$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4+4+4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3 + 1} = \sqrt{2^2 + 2(2)\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + 1} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2 + 1}$

$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4+4+4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3 + 1} = \sqrt{2^2 + 2\cdot 2\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}$

$\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(2) $\sqrt{5} - \sqrt{2}$

(3) $2 + \sqrt{3}$