与えられた定積分を計算する問題です。 積分は以下の通りです。 $\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{3}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

積分は以下の通りです。

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{3}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して積分範囲を整理します。

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx$

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{c}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx$

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{c}^{a} f(x) \, dx = \int_{c}^{b} f(x) \, dx$

与えられた積分を整理すると、

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{3}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) \, dx = \int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) \, dx$

$=\int_{-1}^{3} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) \, dx = \int_{-1}^{3} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) \, dx$

$=\int_{-1}^{3} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) \, dx = \int_{-1}^{3} (12x^2 + 7) \, dx + \int_{3}^{2} (12x^2 + 7) \, dx = \int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (12x^2 + 7) \, dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C = 4x^3 + 7x + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) \, dx = [4x^3 + 7x]_{-1}^{2} = (4(2)^3 + 7(2)) - (4(-1)^3 + 7(-1)) = (4(8) + 14) - (4(-1) - 7) = (32 + 14) - (-4 - 7) = 46 - (-11) = 46 + 11 = 57$

3. 最終的な答え

57