三角形ABCにおいて、AB=4, BC=CA=3である。角BACの二等分線が辺BCと交わる点をE、角BACの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をFとする。CEとEFの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, BC=CA=3である。角BACの二等分線が辺BCと交わる点をE、角BACの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をFとする。CEとEFの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) CEの長さを求める。

角の二等分線の定理より、

$BE : EC = AB : AC = 4 : 3$

BC = 3より、

$BE + EC = 3$

$BE = \frac{4}{3} EC$

$\frac{4}{3} EC + EC = 3$

$\frac{7}{3} EC = 3$

$EC = \frac{9}{7}$

(2) EFの長さを求める。

角の外角の二等分線の定理より、

$BF : CF = AB : AC = 4 : 3$

$BF = BC + CF = 3 + CF$

$(3+CF) : CF = 4 : 3$

$3(3+CF) = 4CF$

$9+3CF = 4CF$

$CF = 9$

$EF = EC + CF = \frac{9}{7} + 9 = \frac{9+63}{7} = \frac{72}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $CE = \frac{9}{7}$

(2) $EF = \frac{72}{7}$