点 $(x, y)$ が不等式 $(x-3)^2 + (y-2)^2 \leq 1$ の表す領域上を動くとき、 (1) $2x + y$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) $x^2 + y^2$ の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

点 $(x, y)$ が不等式 $(x-3)^2 + (y-2)^2 \leq 1$ の表す領域上を動くとき、

(1) $2x + y$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) $x^2 + y^2$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x + y = k$ とおく。これは傾きが -2 の直線を表す。この直線が円 $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 1$ と共有点を持つときの $k$ の範囲を求める。

$y = -2x + k$ を $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 1$ に代入する。

$(x-3)^2 + (-2x + k - 2)^2 = 1$

$x^2 - 6x + 9 + 4x^2 - 4(k-2)x + (k-2)^2 = 1$

$5x^2 - (6 + 4(k-2))x + 9 + (k-2)^2 - 1 = 0$

$5x^2 - (4k - 2)x + k^2 - 4k + 12 = 0$

この二次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

$D = (4k - 2)^2 - 4(5)(k^2 - 4k + 12) = 16k^2 - 16k + 4 - 20k^2 + 80k - 240 = -4k^2 + 64k - 236 \geq 0$

$k^2 - 16k + 59 \leq 0$

$k = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4(59)}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 236}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 8 \pm \sqrt{5}$

よって、$8 - \sqrt{5} \leq k \leq 8 + \sqrt{5}$

したがって、$2x + y$ の取り得る値の範囲は $8 - \sqrt{5} \leq 2x + y \leq 8 + \sqrt{5}$

(2) $x^2 + y^2 = r^2$ とおく。これは原点を中心とする半径 $r$ の円を表す。この円が $(x-3)^2 + (y-2)^2 \leq 1$ と共有点を持つときの $r^2$ の範囲を求める。

$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 1$ の中心は $(3, 2)$ で、半径は 1 である。

原点と中心 $(3, 2)$ との距離は $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ である。

$x^2 + y^2$ の最小値は $(\sqrt{13} - 1)^2 = 13 - 2\sqrt{13} + 1 = 14 - 2\sqrt{13}$

$x^2 + y^2$ の最大値は $(\sqrt{13} + 1)^2 = 13 + 2\sqrt{13} + 1 = 14 + 2\sqrt{13}$

よって、$14 - 2\sqrt{13} \leq x^2 + y^2 \leq 14 + 2\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) $8 - \sqrt{5} \leq 2x + y \leq 8 + \sqrt{5}$

(2) $14 - 2\sqrt{13} \leq x^2 + y^2 \leq 14 + 2\sqrt{13}$