$a>0, b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P$ における接線と漸近線との2交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A, B$ とする。 (1) $P(p, q)$ として、$A, B$ の座標を $a, b, p, q$ で表せ。 (2) $\triangle OAB$ の面積が点 $P$ の位置によらず一定であることを示せ。

1. 問題の内容

$a>0, b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点 $P$ をとる。点 $P$ における接線と漸近線との2交点を、$y$ 座標の大きい方から順に $A, B$ とする。

(1) $P(p, q)$ として、$A, B$ の座標を $a, b, p, q$ で表せ。

(2) $\triangle OAB$ の面積が点 $P$ の位置によらず一定であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(p, q)$ における接線の方程式を求める。

$\frac{x x'}{a^2} - \frac{y y'}{b^2} = 1$ に $x'=p, y'=q$ を代入すると、接線の方程式は

$\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ となる。

次に、双曲線の漸近線の方程式は $y = \pm \frac{b}{a}x$ である。

$A, B$ は接線と漸近線の交点であるから、$A, B$ の座標を求める。

接線 $\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ と漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ の交点を求める。

これを解くと $\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} \cdot \frac{b}{a} x = 1$

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{ab} x = 1$

$\frac{bpx - aqx}{a^2b} = 1$

$(bp - aq) x = a^2b$

$x = \frac{a^2b}{bp - aq}$

$y = \frac{b}{a} x = \frac{ab^2}{bp - aq}$

よって、$P$ が双曲線上の点であることから $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ より $b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$ なので、$bp - aq > 0$ である。

接線 $\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ と漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ の交点を求める。

これを解くと $\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} \cdot (-\frac{b}{a} x) = 1$

$\frac{px}{a^2} + \frac{q}{ab} x = 1$

$\frac{bpx + aqx}{a^2b} = 1$

$(bp + aq) x = a^2b$

$x = \frac{a^2b}{bp + aq}$

$y = -\frac{b}{a} x = -\frac{ab^2}{bp + aq}$

したがって、$y$ 座標が大きい方が $A$ なので、$A(\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq}), B(\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$

(2)

$\triangle OAB$ の面積を求める。

$A = (\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq}), B = (\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \left| x_A y_B - x_B y_A \right|$

$= \frac{1}{2} \left| \frac{a^2b}{bp - aq} (-\frac{ab^2}{bp + aq}) - \frac{a^2b}{bp + aq} \frac{ab^2}{bp - aq} \right|$

$= \frac{1}{2} \left| \frac{-a^3b^3}{(bp - aq)(bp + aq)} - \frac{a^3b^3}{(bp + aq)(bp - aq)} \right|$

$= \frac{1}{2} \left| \frac{-2a^3b^3}{(bp)^2 - (aq)^2} \right|$

$= \frac{a^3b^3}{|b^2p^2 - a^2q^2|}$

$P(p, q)$ は双曲線上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ より $b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$

$\triangle OAB = \frac{a^3b^3}{a^2b^2} = ab$

これは点 $P$ の位置によらず一定である。

3. 最終的な答え

(1) $A(\frac{a^2b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq}), B(\frac{a^2b}{bp + aq}, -\frac{ab^2}{bp + aq})$

(2) $\triangle OAB = ab$