与えられた2次関数 $y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$ を平方完成させる問題です。特に、$x^2 + \frac{1}{5}x$ の部分を平方完成するために、$(\frac{1}{10})^2$ を足して引く操作を行います。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$ を平方完成させる問題です。特に、$x^2 + \frac{1}{5}x$ の部分を平方完成するために、$(\frac{1}{10})^2$ を足して引く操作を行います。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + \frac{1}{5}x$ の部分を平方完成させます。

$x^2 + \frac{1}{5}x$ に $(\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{100}$ を足して引き、

$x^2 + \frac{1}{5}x = x^2 + \frac{1}{5}x + \frac{1}{100} - \frac{1}{100} = (x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{100}$

となります。

これを元の式に代入すると、

$y = \frac{5}{2}((x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{100}) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{200} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - \frac{40}{40}$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$