問題は、与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) $a$ の分母を有理化して簡単にすること。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めること。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、以下の問いに答えるものです。

(1) $a$ の分母を有理化して簡単にすること。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。分母の共役な複素数 $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分母と分子に掛けます。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}$

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めます。

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ より、$\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$なので、$\frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$となります。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10} + 3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2 = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

したがって、$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 9 \cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$