2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通る。このグラフの頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通る。このグラフの頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3点の座標を $y = ax^2 + bx + c$ に代入して、$a, b, c$ に関する連立方程式を作る。

点 $(-1, 1)$ を代入すると、

$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$1 = a - b + c$ ...(1)

点 $(0, -1)$ を代入すると、

$-1 = a(0)^2 + b(0) + c$

$-1 = c$ ...(2)

点 $(1, 2)$ を代入すると、

$2 = a(1)^2 + b(1) + c$

$2 = a + b + c$ ...(3)

(2)より $c = -1$ なので、(1)と(3)に代入する。

$1 = a - b - 1$

$a - b = 2$ ...(4)

$2 = a + b - 1$

$a + b = 3$ ...(5)

(4)と(5)の連立方程式を解く。

(4) + (5)より、

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

これを(5)に代入すると、

$\frac{5}{2} + b = 3$

$b = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$a = \frac{5}{2}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = -1$ である。

したがって、2次関数は $y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1$ となる。

次に、この2次関数を平方完成する。

$y = \frac{5}{2} (x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$

$y = \frac{5}{2} (x^2 + \frac{1}{5}x + (\frac{1}{10})^2 - (\frac{1}{10})^2) - 1$

$y = \frac{5}{2} ( (x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{100} ) - 1$

$y = \frac{5}{2} (x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} - 1$

$y = \frac{5}{2} (x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - 1$

$y = \frac{5}{2} (x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - \frac{40}{40}$

$y = \frac{5}{2} (x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$

頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$ となる。

3. 最終的な答え

$(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$