$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax = (x - 2a)^2 - 4a^2$

この関数は、軸が $x = 2a$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

軸の位置によって場合分けをして、最小値を求めます。

(i) $2a < 0$ つまり $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ で $y$ は単調減少なので、$x = 2$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2^2 - 4a \cdot 2 = 4 - 8a$

(ii) $0 \le 2a \le 2$ つまり $0 \le a \le 1$ のとき

軸 $x = 2a$ が定義域内にあるので、$x = 2a$ で最小値をとります。

最小値は $y = -4a^2$

(iii) $2 < 2a$ つまり $1 < a$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ で $y$ は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 0^2 - 4a \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値 $4 - 8a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値 $-4a^2$

$1 < a$ のとき、最小値 $0$