$a$ を $\frac{5}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分、$b$ を小数部分とするとき、$a^2 + 4b^2 + 4ab + 6a + 12b + 9$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を $\frac{5}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分、$b$ を小数部分とするとき、$a^2 + 4b^2 + 4ab + 6a + 12b + 9$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{5}{\sqrt{5}-1}$ を計算し、$a$ と $b$ の値を求めます。

$\frac{5}{\sqrt{5}-1} = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{4}$

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ であるので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ であることがわかります。

よって、$2.23 < \sqrt{5} < 2.24$ 程度なので、

$\frac{5(\sqrt{5}+1)}{4} \approx \frac{5(2.236+1)}{4} = \frac{5 \times 3.236}{4} = \frac{16.18}{4} = 4.045$

したがって、$\frac{5(\sqrt{5}+1)}{4}$ の整数部分は $4$ となります。

つまり、$a = 4$ です。

小数部分 $b$ は、$b = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{4} - a = \frac{5\sqrt{5}+5}{4} - 4 = \frac{5\sqrt{5}+5-16}{4} = \frac{5\sqrt{5}-11}{4}$ となります。

次に、$a^2 + 4b^2 + 4ab + 6a + 12b + 9$ を計算します。

これは $(a+2b)^2 + 6(a+2b) + 9 = (a+2b+3)^2$ と変形できます。

$a + 2b = 4 + 2 \times \frac{5\sqrt{5}-11}{4} = 4 + \frac{5\sqrt{5}-11}{2} = \frac{8 + 5\sqrt{5} - 11}{2} = \frac{5\sqrt{5}-3}{2}$

$a + 2b + 3 = \frac{5\sqrt{5}-3}{2} + 3 = \frac{5\sqrt{5}-3+6}{2} = \frac{5\sqrt{5}+3}{2}$

$(a+2b+3)^2 = (\frac{5\sqrt{5}+3}{2})^2 = \frac{(5\sqrt{5}+3)^2}{4} = \frac{25 \times 5 + 30\sqrt{5} + 9}{4} = \frac{125 + 30\sqrt{5} + 9}{4} = \frac{134 + 30\sqrt{5}}{4} = \frac{67+15\sqrt{5}}{2}$

しかし、別のアプローチを試みます。

$b = \frac{5}{\sqrt{5}-1} - 4 = \frac{5-4(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1} = \frac{5-4\sqrt{5}+4}{\sqrt{5}-1} = \frac{9-4\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$

$b = \frac{9-4\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} = \frac{(9-4\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{9\sqrt{5}+9-20-4\sqrt{5}}{4} = \frac{5\sqrt{5}-11}{4}$

$a+2b = 4 + 2(\frac{5\sqrt{5}-11}{4}) = 4 + \frac{5\sqrt{5}-11}{2} = \frac{8+5\sqrt{5}-11}{2} = \frac{5\sqrt{5}-3}{2}$

$(a+2b+3)^2 = (\frac{5\sqrt{5}-3}{2} + 3)^2 = (\frac{5\sqrt{5}-3+6}{2})^2 = (\frac{5\sqrt{5}+3}{2})^2 = \frac{25 \cdot 5 + 30\sqrt{5}+9}{4} = \frac{125+30\sqrt{5}+9}{4} = \frac{134+30\sqrt{5}}{4} = \frac{67+15\sqrt{5}}{2}$

変形 $(a+2b+3)^2$は間違いでした.

$a^2+4b^2+4ab+6a+12b+9 = a^2 + 4b^2 + 4ab + 6a + 12b + 9$

$a=4$を代入

$16+4b^2+16b+24+12b+9 = 49 + 4b^2 + 28b$

$b = \frac{5\sqrt{5}-11}{4}$を代入

$49 + 4 (\frac{5\sqrt{5}-11}{4})^2 + 28(\frac{5\sqrt{5}-11}{4}) = 49 + \frac{25(5)-110\sqrt{5}+121}{4} + 7(5\sqrt{5}-11) = 49 + \frac{125-110\sqrt{5}+121}{4} + 35\sqrt{5}-77 = -28 + \frac{246-110\sqrt{5}}{4} + 35\sqrt{5} = -28 + \frac{123}{2} - \frac{55}{2}\sqrt{5} + 35\sqrt{5} = -28+\frac{123}{2} + \frac{15}{2}\sqrt{5} = \frac{-56+123+15\sqrt{5}}{2} = \frac{67+15\sqrt{5}}{2}$

$a^2+4b^2+4ab+6a+12b+9$

$= a^2+6a+9 + 4b^2+4ab+12b$

$= (a+3)^2 + 4b(b+a+3)$

$= (4+3)^2 + 4b(b+4+3)$

$= 49 + 4b(b+7)$

$= 49 + 4(\frac{5\sqrt{5}-11}{4})(\frac{5\sqrt{5}-11}{4}+7)$

$= 49 + (\frac{5\sqrt{5}-11}{1}) (\frac{5\sqrt{5}-11+28}{4})$

$= 49 + (\frac{5\sqrt{5}-11}{1}) (\frac{5\sqrt{5}+17}{4})$

$= 49 + \frac{125+85\sqrt{5}-55\sqrt{5}-187}{4}$

$= 49 + \frac{-62+30\sqrt{5}}{4}$

$= 49 + \frac{-31+15\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{98-31+15\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{67+15\sqrt{5}}{2}$

$a^2+4b^2+4ab+6a+12b+9$

$= a^2 +4ab+6a + 4b^2+12b+9$

$= a(a+4b+6)+4b^2+12b+9$

$= 4(4 + 4b+6)+4b^2+12b+9$

$= 4(10+4b)+4b^2+12b+9$

$= 40+16b+4b^2+12b+9$

$= 4b^2+28b+49$

$= (2b+7)^2$

$= (2\frac{5\sqrt{5}-11}{4} + 7)^2$

$= (\frac{5\sqrt{5}-11}{2} + 7)^2$

$= (\frac{5\sqrt{5}-11+14}{2})^2$

$= (\frac{5\sqrt{5}+3}{2})^2$

$= \frac{125+30\sqrt{5}+9}{4}$

$= \frac{134+30\sqrt{5}}{4}$

$= \frac{67+15\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{67+15\sqrt{5}}{2}$