実数 $x, y$ が $x^2 + xy + y^2 = 1$ を満たすとき、$x^2 - xy + y^2$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + xy + y^2 = 1$ を満たすとき、$x^2 - xy + y^2$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + xy + y^2 = 1$ という条件式と、$x^2 - xy + y^2$ の値域を求めるという目的を確認します。

次に、$x^2 - xy + y^2$ を $x^2 + xy + y^2$ を用いて表すことを考えます。

$x^2 - xy + y^2 = x^2 + xy + y^2 - 2xy$ と変形できます。

ここで、$x^2 + xy + y^2 = 1$ を代入すると、

$x^2 - xy + y^2 = 1 - 2xy$ となります。

したがって、$xy$ の値域を求めることができれば、$x^2 - xy + y^2$ の値域を求めることができます。

$x^2 + xy + y^2 = 1$ を変形すると、

$(x + y)^2 - xy = 1$

$xy = (x + y)^2 - 1$

$xy$ の値を $x^2 + xy + y^2$ に代入して、

$x^2 + (x+y)^2 - 1 + y^2 = 1$

$x^2 + x^2 + 2xy + y^2 + y^2 = 2$

$x^2 + xy + y^2 = 1$ を用いて、別の解法を考えます。

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2+xy+y^2=1$ より、

$r^2\cos^2\theta + r^2\cos\theta\sin\theta + r^2\sin^2\theta = 1$

$r^2(1+\cos\theta\sin\theta) = 1$

$r^2(1+\frac{1}{2}\sin2\theta) = 1$

$r^2 = \frac{1}{1+\frac{1}{2}\sin2\theta}$

$x^2-xy+y^2 = r^2\cos^2\theta - r^2\cos\theta\sin\theta + r^2\sin^2\theta = r^2(1-\cos\theta\sin\theta) = r^2(1-\frac{1}{2}\sin2\theta)$

$x^2-xy+y^2 = \frac{1-\frac{1}{2}\sin2\theta}{1+\frac{1}{2}\sin2\theta}$

ここで、$\sin2\theta = t$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、$f(t)=\frac{1-\frac{1}{2}t}{1+\frac{1}{2}t}=\frac{2-t}{2+t}$ となる。

$f'(t) = \frac{-(2+t)-(2-t)}{(2+t)^2} = \frac{-4}{(2+t)^2} < 0$

$f(t)$ は単調減少関数であるため、

$f(1) \le f(t) \le f(-1)$

$f(1) = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$

$f(-1) = \frac{2-(-1)}{2+(-1)} = \frac{3}{1} = 3$

したがって、$\frac{1}{3} \le x^2-xy+y^2 \le 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \le x^2 - xy + y^2 \le 3$

つまり、値域は $[\frac{1}{3}, 3]$ です。