3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\frac{\beta \gamma}{\alpha} + \frac{\gamma \alpha}{\beta} + \frac{\alpha \beta}{\gamma}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\frac{\beta \gamma}{\alpha} + \frac{\gamma \alpha}{\beta} + \frac{\alpha \beta}{\gamma}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の形にすると、$a = 2$, $b = -3$, $c = 4$, $d = -5$ となります。

解と係数の関係より、以下が成り立ちます。

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2$

$\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

次に、求めたい式 $\frac{\beta \gamma}{\alpha} + \frac{\gamma \alpha}{\beta} + \frac{\alpha \beta}{\gamma}$ を通分します。

$\frac{\beta \gamma}{\alpha} + \frac{\gamma \alpha}{\beta} + \frac{\alpha \beta}{\gamma} = \frac{(\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + (\alpha \beta)^2}{\alpha \beta \gamma}$

分子 $(\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + (\alpha \beta)^2$ を $(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 - 2\alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$ を用いて変形します。

$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + 2(\alpha \beta \beta \gamma + \alpha \beta \gamma \alpha + \beta \gamma \gamma \alpha)$

$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + 2\alpha \beta \gamma(\alpha + \beta + \gamma)$

よって、$(\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + (\alpha \beta)^2 = (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 - 2\alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$ となります。

$\frac{(\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + (\alpha \beta)^2}{\alpha \beta \gamma} = \frac{(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 - 2\alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)}{\alpha \beta \gamma}$

$\alpha + \beta + \gamma$, $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha$, $\alpha \beta \gamma$ の値を代入します。

$\frac{(2)^2 - 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{4 - \frac{15}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{8 - 15}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{-\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} = -\frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{\beta \gamma}{\alpha} + \frac{\gamma \alpha}{\beta} + \frac{\alpha \beta}{\gamma} = -\frac{7}{5}$