複素数 $z$ が $|iz+3| = |2z-6|$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) この等式を満たす点 $z$ 全体はどのような図形を表すか。 (2) $\bar{z} = z$ を満たす $z$ を求めよ。 (3) $|z+i|$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $|iz+3| = |2z-6|$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) この等式を満たす点 $z$ 全体はどのような図形を表すか。

(2) $\bar{z} = z$ を満たす $z$ を求めよ。

(3) $|z+i|$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$|iz+3| = |2z-6|$ を変形します。

$|i(z-3i)| = |2(z-3)|$

$|i||z-3i| = 2|z-3|$

$|z-3i| = 2|z-3|$

$z = x + yi$ とおくと、

$|x + yi - 3i| = 2|x + yi - 3|$

$|x + (y-3)i| = 2|(x-3) + yi|$

$\sqrt{x^2 + (y-3)^2} = 2\sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

両辺を2乗して

$x^2 + (y-3)^2 = 4((x-3)^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 24x + 3y^2 + 6y + 27$

$0 = x^2 - 8x + y^2 + 2y + 9$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = 16 + 1 - 9$

$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 8$

これは、中心 $(4, -1)$、半径 $2\sqrt{2}$ の円を表します。

(2)

$\bar{z} = z$ は、$z$ が実数であることを意味します。

$z = x + yi$ とおくと、$\bar{z} = x - yi$ ですから、$x - yi = x + yi$ より $y = 0$ となります。

したがって、$z$ は実数であり、(1) で求めた円 $(x-4)^2 + (y+1)^2 = 8$ 上にあることから、$y = 0$ を代入すると

$(x-4)^2 + (0+1)^2 = 8$

$(x-4)^2 = 7$

$x - 4 = \pm \sqrt{7}$

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

よって、$z = 4 \pm \sqrt{7}$ となります。

(3)

$|z+i|$ の最大値を求めます。

$z$ は円 $(x-4)^2 + (y+1)^2 = 8$ 上の点です。

$|z+i| = |x + yi + i| = |x + (y+1)i| = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$

これは、点 $(x, y)$ と点 $(0, -1)$ の距離を表します。

点 $(0, -1)$ は円の中心 $(4, -1)$ から $4$ の距離にあります。

したがって、円上の点と $(0, -1)$ の距離の最大値は、中心からの距離 $4$ に半径 $2\sqrt{2}$ を加えたものになります。

最大値は $4 + 2\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(4, -1)$、半径 $2\sqrt{2}$ の円

(2) $z = 4 \pm \sqrt{7}$

(3) $4 + 2\sqrt{2}$