$x = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$, $y^2$, $xy$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = (\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7 + 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

$xy = (\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}) = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

次に、$x^2 - 3xy + y^2$ を計算します。

$x^2 - 3xy + y^2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} - 3(1) + \frac{5 - \sqrt{21}}{2} = \frac{5 + \sqrt{21} + 5 - \sqrt{21}}{2} - 3 = \frac{10}{2} - 3 = 5 - 3 = 2$

3. 最終的な答え

$x^2 - 3xy + y^2 = 2$