$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $2\cos^2x + 4\cos x - 1 = 0$ (2) $\cos x < \sqrt{3}\sin x$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $2\cos^2x + 4\cos x - 1 = 0$

(2) $\cos x < \sqrt{3}\sin x$

2. 解き方の手順

(1) $2\cos^2x + 4\cos x - 1 = 0$

$\cos x = t$ と置くと、方程式は $2t^2 + 4t - 1 = 0$ となります。

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

したがって、$\cos x = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$ または $\cos x = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}$ です。

ここで、$\sqrt{6} \approx 2.449$ であるため、$\frac{-2 - \sqrt{6}}{2} \approx \frac{-4.449}{2} \approx -2.2245$ となり、これは $-1 \le \cos x \le 1$ の範囲外なので解となりえません。

$\cos x = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2} \approx \frac{-2 + 2.449}{2} \approx \frac{0.449}{2} \approx 0.2245$

$x = \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$x = \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)$ と $x = 2\pi - \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)$ が解となります。

(2) $\cos x < \sqrt{3}\sin x$

両辺を $\cos x$ で割ることはできません。なぜなら、$\cos x$ の符号が正か負かで不等号の向きが変わってしまうからです。

$\cos x = 0$ の場合、$0 < \sqrt{3} \sin x$ となります。$\sin x = \pm 1$ なので、$x = \frac{\pi}{2}$のとき、$0 < \sqrt{3}$ となり、不等式は成り立ちます。$x = \frac{3\pi}{2}$のとき、$0 < -\sqrt{3}$ となり、不等式は成り立ちません。

$\cos x < \sqrt{3}\sin x$ を $\sqrt{3}\sin x - \cos x > 0$ と変形します。

左辺を合成します。$2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ となります。

$\sin\theta > 0$ となるのは、$0 < \theta < \pi$ のときなので、$0 < x - \frac{\pi}{6} < \pi$

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)$, $2\pi - \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)$

(2) $\frac{\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$