アルファベットの8文字 A, Z, K, I, G, K, A, U が1文字ずつ書かれた8枚のカードがある。これらのカードを1列に並べる方法の総数と、この中から7枚のカードを取り出して1列に並べる方法の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

アルファベットの8文字 A, Z, K, I, G, K, A, U が1文字ずつ書かれた8枚のカードがある。これらのカードを1列に並べる方法の総数と、この中から7枚のカードを取り出して1列に並べる方法の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、8枚のカードを並べる場合の数を考えます。8枚のカードにはAが2枚、Kが2枚含まれています。したがって、同じものを含む順列の公式を使います。

8枚のカードを並べる場合の数は、

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{40320}{4} = 10080$

次に、7枚のカードを取り出して並べる場合の数を考えます。

まず、8枚のカードから7枚を選ぶ方法は8通りです。

- Aを1枚取り除く場合: A, Z, K, I, G, K, Uとなり、並べ方は $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$通り。

- Kを1枚取り除く場合: A, Z, K, I, G, A, Uとなり、並べ方は $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$通り。

- A, K以外のカードを1枚取り除く場合: Z, I, G, Uのいずれかを取り除く場合は6通り。例えばZを取り除くと、A, K, I, G, K, A, U となり、この並び方は $\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260$通り。

したがって、この6つのパターンはすべて同じ$\frac{7!}{2!2!} = 1260$通り。

よって、7枚のカードを選んで並べる場合の総数は、

$2520 + 2520 + 6 \times 1260 = 5040 + 7560 = 12600$

3. 最終的な答え

8枚のカードを1列に並べる方法は10080通り。

7枚のカードを取り出して1列に並べる方法は12600通り。