与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が$(-4, 3)$で、$y$軸に接する円 (2) 中心が$(-4, -5)$で、直線$x - 2y = 1$に接する円 (3) $x$軸上に中心があり、2点$(3, \sqrt{3})$, $(2, -2)$を通る円 (4) 直線$y = 2x - 5$上に中心があり、2点$(4, 6)$, $(-2, 2)$を通る円

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が$(-4, 3)$で、$y$軸に接する円

(2) 中心が$(-4, -5)$で、直線$x - 2y = 1$に接する円

(3) $x$軸上に中心があり、2点$(3, \sqrt{3})$, $(2, -2)$を通る円

(4) 直線$y = 2x - 5$上に中心があり、2点$(4, 6)$, $(-2, 2)$を通る円

2. 解き方の手順

(1) 中心が$(-4, 3)$で、$y$軸に接する円

円の方程式は$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$で、中心は$(a, b)$、半径は$r$です。

中心が$(-4, 3)$なので、円の方程式は$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$となります。

$y$軸に接するということは、円の中心から$y$軸までの距離が半径に等しいということです。

中心$(-4, 3)$から$y$軸までの距離は$|-4| = 4$なので、$r = 4$です。

したがって、円の方程式は$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$となります。

(2) 中心が$(-4, -5)$で、直線$x - 2y = 1$に接する円

中心が$(-4, -5)$なので、円の方程式は$(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = r^2$となります。

直線$x - 2y = 1$に接するということは、円の中心から直線までの距離が半径に等しいということです。

点$(x_0, y_0)$から直線$ax + by + c = 0$までの距離は$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$で与えられます。

中心$(-4, -5)$から直線$x - 2y - 1 = 0$までの距離は$\frac{|(-4) - 2(-5) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4 + 10 - 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$なので、$r = \sqrt{5}$です。

したがって、円の方程式は$(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 5$となります。

(3) $x$軸上に中心があり、2点$(3, \sqrt{3})$, $(2, -2)$を通る円

$x$軸上に中心があるので、中心の座標は$(a, 0)$と表せます。

円の方程式は$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = r^2$、つまり$(x - a)^2 + y^2 = r^2$となります。

2点$(3, \sqrt{3})$と$(2, -2)$を通るので、これらの点を円の方程式に代入します。

$(3 - a)^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$

$(2 - a)^2 + (-2)^2 = r^2$

$(3 - a)^2 + 3 = (2 - a)^2 + 4$

$9 - 6a + a^2 + 3 = 4 - 4a + a^2 + 4$

$12 - 6a = 8 - 4a$

$4 = 2a$

$a = 2$

$(3 - 2)^2 + 3 = r^2$

$1 + 3 = r^2$

$r^2 = 4$

したがって、円の方程式は$(x - 2)^2 + y^2 = 4$となります。

(4) 直線$y = 2x - 5$上に中心があり、2点$(4, 6)$, $(-2, 2)$を通る円

中心の座標を$(a, b)$とすると、$b = 2a - 5$なので、中心は$(a, 2a - 5)$と表せます。

円の方程式は$(x - a)^2 + (y - (2a - 5))^2 = r^2$となります。

2点$(4, 6)$と$(-2, 2)$を通るので、これらの点を円の方程式に代入します。

$(4 - a)^2 + (6 - (2a - 5))^2 = r^2$

$(-2 - a)^2 + (2 - (2a - 5))^2 = r^2$

$(4 - a)^2 + (11 - 2a)^2 = (-2 - a)^2 + (7 - 2a)^2$

$16 - 8a + a^2 + 121 - 44a + 4a^2 = 4 + 4a + a^2 + 49 - 28a + 4a^2$

$5a^2 - 52a + 137 = 5a^2 - 24a + 53$

$-52a + 137 = -24a + 53$

$84 = 28a$

$a = 3$

$b = 2a - 5 = 2(3) - 5 = 1$

中心は$(3, 1)$です。

$(4 - 3)^2 + (6 - 1)^2 = r^2$

$1 + 25 = r^2$

$r^2 = 26$

したがって、円の方程式は$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 26$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(2) $(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 5$

(3) $(x - 2)^2 + y^2 = 4$

(4) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 26$