一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D, 辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D, 辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

△ABCは正三角形なので、外接円の半径Rは、正弦定理より

$\frac{3}{sin60^\circ} = 2R$

$R = \frac{3}{2sin60^\circ} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

OHの長さを求める。

正四面体OABCにおいて、頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足Hは、△ABCの重心と一致する。

したがって、AH = R = $\sqrt{3}$

OA = 3なので、三平方の定理より

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$OH^2 + (\sqrt{3})^2 = 3^2$

$OH^2 + 3 = 9$

$OH^2 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

(2)

四面体OAEDの体積を求める。

四面体OABCの体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot sin60^\circ) \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{6} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{18}}{12} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{12} = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

四面体OAEDの体積をV'とする。

$V' = V \cdot \frac{OD}{OC} \cdot \frac{OE}{OB} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3/4}{3} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{48} = \frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3)

cos∠AEDの値を求める。

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{OC} - \vec{OA}$

$|\vec{AE}|^2 = (\frac{3}{4})^2 |\vec{OB}|^2 + |\vec{OA}|^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot (\vec{OB} \cdot \vec{OA}) = \frac{9}{16} \cdot 9 + 9 - \frac{3}{2} \cdot 9 \cdot cos60^\circ = \frac{81}{16} + 9 - \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{81 + 144 - 54}{16} = \frac{171}{16}$

$|\vec{AD}|^2 = (\frac{1}{3})^2 |\vec{OC}|^2 + |\vec{OA}|^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\vec{OC} \cdot \vec{OA}) = \frac{1}{9} \cdot 9 + 9 - \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot cos60^\circ = 1 + 9 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 10 - 3 = 7$

$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (\frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{OC} - \vec{OA}) = \frac{1}{4}(\vec{OB} \cdot \vec{OC}) - \frac{3}{4}(\vec{OB} \cdot \vec{OA}) - \frac{1}{3}(\vec{OA} \cdot \vec{OC}) + |\vec{OA}|^2 = \frac{1}{4} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} + 9 = \frac{9}{8} - \frac{27}{8} - \frac{3}{2} + 9 = \frac{9-27-12+72}{8} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$

$cos\angle AED = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}||\vec{AD}|} = \frac{\frac{21}{4}}{\sqrt{\frac{171}{16}} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\frac{21}{4}}{\frac{1}{4}\sqrt{171 \cdot 7}} = \frac{21}{\sqrt{1197}} = \frac{21}{\sqrt{9 \cdot 133}} = \frac{21}{3\sqrt{133}} = \frac{7}{\sqrt{133}} = \frac{7\sqrt{133}}{133} = \frac{\sqrt{133}}{19}$

点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さをhとする。

四面体OAEDの体積は、$\frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{\triangle AED}$ でもある。

$S_{\triangle AED} = \frac{1}{2} |\vec{AE}| |\vec{AD}| sin\angle AED = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{171}{16}} \sqrt{7} \sqrt{1 - (\frac{7}{\sqrt{133}})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{171}{16} \cdot 7 \cdot (1 - \frac{49}{133})} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{171}{16} \cdot 7 \cdot \frac{84}{133}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{171 \cdot 7 \cdot 84}{16 \cdot 133}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{100404}{2128}} = \frac{1}{2} \sqrt{47.1855218} = \frac{1}{2} 6.869 \approx 3.434$

$\frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{\triangle AED} = \frac{3\sqrt{2}}{16}$

$h = \frac{9\sqrt{2}}{16 \cdot S_{\triangle AED}} = \frac{9\sqrt{2}}{16 \cdot 3.434} \approx \frac{12.7279}{54.944} = 0.2316$

3. 最終的な答え

(1) △ABCの外接円の半径: $\sqrt{3}$

OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AEDの値: $\frac{\sqrt{133}}{19}$

点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さ: 0.2316