三角形ABCにおいて、辺BCの長さ $a=3$, 角Bの大きさ $B=60^\circ$, 辺ABの長さ $c=4$ であるとき、辺CAの長さ $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCの長さ $a=3$, 角Bの大きさ $B=60^\circ$, 辺ABの長さ $c=4$ であるとき、辺CAの長さ $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理は、三角形の辺の長さと角の大きさの関係を表すもので、以下の式で表される。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

与えられた値を代入すると、

$b^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ$

$b^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$b^2 = 25 - 12$

$b^2 = 13$

したがって、 $b = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13}$