三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$である。$\angle A$ の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$である。$\angle A$ の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ において余弦定理を用いて辺BCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 34 - 15 = 19$

$BC = \sqrt{19}$

次に、角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 5:3$

したがって、$BD = \frac{5}{5+3}BC = \frac{5}{8}\sqrt{19}$

$\triangle ABD$ において余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 30^\circ$

$(\frac{5}{8}\sqrt{19})^2 = 5^2 + AD^2 - 2 \cdot 5 \cdot AD \cdot \cos 30^\circ$

$\frac{25}{64} \cdot 19 = 25 + AD^2 - 10 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{475}{64} = 25 + AD^2 - 5\sqrt{3} AD$

$AD^2 - 5\sqrt{3} AD + 25 - \frac{475}{64} = 0$

$AD^2 - 5\sqrt{3} AD + \frac{1600 - 475}{64} = 0$

$AD^2 - 5\sqrt{3} AD + \frac{1125}{64} = 0$

ここで、$\triangle ABC$の面積を２つの三角形に分割して考える。

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ADC$

$\frac{1}{2}AB\cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin 30^\circ + \frac{1}{2}AD \cdot AC \cdot \sin 30^\circ$

$5 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 5 \cdot AD \cdot \sin 30^\circ + AD \cdot 3 \cdot \sin 30^\circ$

$15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5AD \cdot \frac{1}{2} + 3AD \cdot \frac{1}{2}$

$15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4AD$

$AD = \frac{15\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{15\sqrt{3}}{8}$