一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとき、線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとき、線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ABCは正三角形なので、外接円の半径Rは、正弦定理より

$2R = \frac{3}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$

$R = \sqrt{3}$

点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとすると、Hは△ABCの重心に一致する。よってAH = R = $\sqrt{3}$。

OA=3なので、三平方の定理より

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$OH^2 + (\sqrt{3})^2 = 3^2$

$OH^2 = 9 - 3 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積を求める。

四面体OABCの体積をVとすると、

$V = \frac{1}{3} \times (\triangle ABCの面積) \times OH = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 \times \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{18}}{12} = \frac{9\times3\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

四面体OAEDの体積V'は、四面体OABCの体積Vの $\frac{OD}{OC} \times \frac{OE}{OB} = \frac{1}{3} \times \frac{3/4}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ 倍なので、

$V' = \frac{1}{12} V = \frac{1}{12} \times \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AEDの値を求める。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とおく。 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 3$ であり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 3 \times 3 \times \cos 60^{\circ} = \frac{9}{2}$ である。

$\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{b}, \vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{c} - \vec{a}$

$|\vec{AE}|^2 = |\frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}|^2 = \frac{9}{16}|\vec{b}|^2 - \frac{3}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = \frac{9}{16} \times 9 - \frac{3}{2} \times \frac{9}{2} + 9 = \frac{81}{16} - \frac{27}{4} + 9 = \frac{81 - 108 + 144}{16} = \frac{117}{16}$

$|\vec{AD}|^2 = |\frac{1}{3}\vec{c} - \vec{a}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{c}|^2 - \frac{2}{3}\vec{a} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 = \frac{1}{9} \times 9 - \frac{2}{3} \times \frac{9}{2} + 9 = 1 - 3 + 9 = 7$

$|\vec{AE}| = \frac{\sqrt{117}}{4} = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$|\vec{AD}| = \sqrt{7}$

$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (\frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{4}\vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{3}{4}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{a}|^2 = \frac{1}{4}\times\frac{9}{2} - \frac{3}{4}\times\frac{9}{2} - \frac{1}{3}\times\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{8} - \frac{27}{8} - \frac{3}{2} + 9 = \frac{9 - 27 - 12 + 72}{8} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$

$\cos \angle AED = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}||\vec{AD}|} = \frac{21/4}{\frac{3\sqrt{13}}{4} \sqrt{7}} = \frac{21}{3\sqrt{91}} = \frac{7}{\sqrt{91}} = \frac{7\sqrt{91}}{91} = \frac{\sqrt{91}}{13}$

点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さをhとする。

四面体OAEDの体積は、 $\frac{1}{3} \times (\triangle AEDの面積) \times h$ でもある。

$\triangle AEDの面積 = \frac{1}{2}|\vec{AE}||\vec{AD}|\sin\angle AED = \frac{1}{2} \frac{3\sqrt{13}}{4} \sqrt{7} \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{91}}{13})^2} = \frac{1}{2} \frac{3\sqrt{91}}{4} \sqrt{1 - \frac{91}{169}} = \frac{3\sqrt{91}}{8} \sqrt{\frac{78}{169}} = \frac{3\sqrt{91}}{8} \frac{\sqrt{78}}{13} = \frac{3\sqrt{7098}}{8\times13} = \frac{3 \sqrt{2 \times 3^2 \times 7 \times 13 \times 3}}{8 \times 13} = \frac{9\sqrt{2 \times 7 \times 13}}{8 \times 13}= \frac{9\sqrt{182}}{104}$

$\frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{182}}{104} \times h = \frac{3\sqrt{2}}{16}$

$h = \frac{3\sqrt{2}}{16} \times \frac{312}{9\sqrt{182}} = \frac{\sqrt{2}}{1} \times \frac{13}{3 \sqrt{2}\sqrt{91}} = \frac{13}{3 \sqrt{91}} = \frac{13 \sqrt{91}}{3\times 91} = \frac{\sqrt{91}}{21}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径: $\sqrt{3}$, OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AED: $\frac{\sqrt{91}}{13}$, 点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さ: $\frac{\sqrt{91}}{21}$