## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

14番の問題です。円 $x^2 + y^2 = 20$ に接し、直線 $2x + y = 10$ に垂直な直線の方程式を求めます。

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2. 解き方の手順

1. **直線の傾きを求める:** 直線 $2x + y = 10$ を変形すると、$y = -2x + 10$ となり、傾きは $-2$ です。これに垂直な直線の傾きは、傾きの積が $-1$ になることから、$1/2$ となります。

2. **接線の公式を利用する:** 円 $x^2 + y^2 = r^2$ に傾き $m$ の直線が接するときの接線の方程式は、$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ で与えられます。

今回の場合、$r^2 = 20$ なので $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ であり、$m = 1/2$ です。これを公式に代入します。

$y = \frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1 + (\frac{1}{2})^2}$

$y = \frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$

$y = \frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}\sqrt{\frac{5}{4}}$

$y = \frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1}{2}x \pm 5$

3. **直線の方程式を整理する:** 上記の方程式を整理して、一般形にします。

$y = \frac{1}{2}x + 5$ または $y = \frac{1}{2}x - 5$

それぞれの式に2を掛けて整理すると、

$x - 2y + 10 = 0$ または $x - 2y - 10 = 0$

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3. 最終的な答え

求める直線の方程式は $x - 2y + 10 = 0$ と $x - 2y - 10 = 0$ です。