$AB = CE = 8$, $AC = 5$, $CD = 7$, $BE = 9$, $\angle CDE = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle BEC$のとき、四角形$BCDE$の面積が$\triangle ABC$の面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

$AB = CE = 8$, $AC = 5$, $CD = 7$, $BE = 9$, $\angle CDE = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle BEC$のとき、四角形$BCDE$の面積が$\triangle ABC$の面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

$\angle BAC = \angle BEC$であるから、$\triangle ABC$と$\triangle EBC$は相似である。相似比を$k$とすると、

$AB:EB = AC:EC = BC:BC = k$

$8:9 = 5:8$より、この相似比の仮定は成り立たない。しかし、問題文の条件より、

$\triangle ABC \sim \triangle EBC$

であるので、

$\frac{AB}{EB} = \frac{AC}{EC} = \frac{BC}{BC}$

である。$AB = 8$, $AC = 5$, $CE = 8$, $BE = 9$であるから、相似比$k$は

$k = \frac{AB}{EB} = \frac{8}{9} = \frac{AC}{EC} = \frac{5}{8}$

これは矛盾している。$\angle BAC = \angle BEC$の条件より、$\triangle ABC$と$\triangle EBC$は相似な三角形ではない。

ここで、$AC = 5, AB = 8$であるから、余弦定理より、

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos{\angle BAC} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos{\angle BAC} = 89 - 80 \cos{\angle BAC}$

$\triangle CDE$において、$CD = 7, CE = 8, \angle CDE = 90^\circ$より、三平方の定理より、

$DE^2 + CD^2 = CE^2$

$DE^2 = CE^2 - CD^2 = 64 - 49 = 15$

$DE = \sqrt{15}$

また、$BE = 9$である。

$\triangle BCE$において、$BC^2 + CE^2 - 2 \cdot BC \cdot CE \cdot \cos{\angle BCE} = BE^2$

$BC^2 + 64 - 16 BC \cos{\angle BCE} = 81$

$BC^2 - 16 BC \cos{\angle BCE} = 17$

$\angle BEC = \angle BAC$より、

$\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$

$\triangle CDE$の面積は$\frac{1}{2} CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{15} = \frac{7 \sqrt{15}}{2}$

四角形$BCDE$の面積 = $\triangle BCE + \triangle CDE$

$\frac{AB}{AC}=\frac{CE}{CB}=\frac{8}{5},BC=\frac{5CE}{8}=\frac{5 \cdot 8}{8}=5$

$\triangle BCE = \frac{1}{2} CE \cdot BC \sin \angle BCE = \frac{1}{2} 8 \cdot 5 \sin \angle BCE = 20$

$BC = 5$

三角形$ABC$において、$AC=5, AB=8, BC=5$

$\angle ABC = \angle CAB$.

$\cos A = \frac{5}{8}$

面積$\triangle ABC = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \cdot \sqrt{1- (\frac{5}{8})^2}$

$\frac{40}{2}\sqrt{\frac{64-25}{64}}=20 \cdot \frac{\sqrt{39}}{8}=5\cdot \frac{\sqrt{39}}{2}$

$\triangle CDE=\frac{1}{2} \cdot 7\cdot \sqrt{15}= \frac{7\sqrt{15}}{2}$

面積$BCDE = \triangle BCE + \triangle CDE = 20\cdot \frac{20000}{\sqrt{39}} = \frac{7 \sqrt{15}}{2}$

$\triangle BCE = \frac{8}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5}$倍