三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{2}$, $CA = 3$, $\angle A = 45^\circ$ であるとき、$BC$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{2}$, $CA = 3$, $\angle A = 45^\circ$ であるとき、$BC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $BC$ の長さを求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

与えられた値を代入すると、

$BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ$

$BC^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 17 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 17 - 12 \cdot \frac{2}{2}$

$BC^2 = 17 - 12$

$BC^2 = 5$

$BC > 0$ より、

$BC = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{5}$