$d = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

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1. 問題の内容

問題15：点A(4, 2)を中心とし、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する円の方程式を求めよ。

問題16：円 $x^2 + y^2 - 2kx - 6y + k^2 + 5 = 0$ が、円 $x^2 + y^2 = 49$ の内部にあるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題15

1. 中心間の距離を求める：点A(4, 2)と円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心(0, 0)の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

2. 円 $x^2 + y^2 = 5$ の半径 $r_1$ は、 $r_1 = \sqrt{5}$

3. 求める円の半径を $r$ とする。2つの円が接する場合、2つの円の中心間の距離は、半径の和または差に等しい。

* 外接の場合: $r = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

* 内接の場合: $r = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

4. 求める円の方程式は、中心が(4, 2)で半径が $r$ の円なので、

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = r^2$

* 外接の場合: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

* 内接の場合: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$

### 問題16

1. 与えられた円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2kx + y^2 - 6y + k^2 + 5 = 0$

$(x - k)^2 - k^2 + (y - 3)^2 - 9 + k^2 + 5 = 0$

$(x - k)^2 + (y - 3)^2 = 4$

よって、この円の中心は(k, 3)で半径は2である。

2. 円 $x^2 + y^2 = 49$ の中心は(0, 0)で半径は7である。

3. 円 $x^2 + y^2 - 2kx - 6y + k^2 + 5 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 49$ の内部にある条件は、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の差よりも小さいことである。つまり、

$\sqrt{(k - 0)^2 + (3 - 0)^2} < 7 - 2$

$\sqrt{k^2 + 9} < 5$

4. 両辺を2乗する。

$k^2 + 9 < 25$

$k^2 < 16$

5. これを解くと、 $-4 < k < 4$

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3. 最終的な答え

問題15：

* 外接の場合: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5$

* 内接の場合: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 45$

問題16：

$-4 < k < 4$