すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ を考える。

両辺を2乗すると、

$$x+2 \le k^2(x+1)$$

$$x+2 \le k^2x + k^2$$

$$x - k^2x \le k^2 - 2$$

$$x(1-k^2) \le k^2 - 2$$

$x > 0$ であることに注意する。

ここで、$1-k^2 < 0$ つまり $k^2 > 1$ の場合、不等式の向きが変わって

$$x \ge \frac{k^2 - 2}{1-k^2} = \frac{k^2 - 2}{-(k^2-1)} = \frac{2-k^2}{k^2-1}$$

これがすべての正の $x$ に対して成り立つためには、

$$\frac{2-k^2}{k^2-1} \le 0$$

でなければならない。

しかし、$k^2 > 1$ より、$k^2-1 > 0$ であるから、$2-k^2 \le 0$ となり、$k^2 \ge 2$ である必要がある。

したがって、$k \ge \sqrt{2}$

一方、$1-k^2 = 0$ つまり $k^2=1$ のとき、$k=\pm 1$ であるが、$k$ は正の実数なので、$k=1$ である。このとき、$0 \le -1$ となり矛盾する。

最後に、$1-k^2 > 0$ つまり $k^2 < 1$ の場合、不等式の向きは変わらず

$$x \le \frac{k^2 - 2}{1-k^2}$$

これがすべての正の $x$ に対して成り立つことはない。

したがって、$k \ge \sqrt{2}$ でなければならない。

$k=\sqrt{2}$ のとき、$\sqrt{x+2} \le \sqrt{2}\sqrt{x+1}$ であるから、

$x+2 \le 2(x+1)$

$x+2 \le 2x+2$

$0 \le x$

これは、$x>0$ で常に成立する。

よって、$k$ の最小値は $\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$