## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた2つの二次方程式に関する問題を解きます。

* 問題1：二次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^3 \beta + \alpha \beta^3$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

(7) $\alpha - \beta$

* 問題2：二次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ の2つの解が次の条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。

(1) 1つの解が他の解の2倍である。

(2) 2つの解の差が4である。

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2. 解き方の手順

### 問題1

二次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = 3$

これらを利用して各値を計算します。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 2^2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 2^2 - 4 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

(3) $\alpha^3 \beta + \alpha \beta^3 = \alpha \beta (\alpha^2 + \beta^2) = 3 \cdot (-2) = -6$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta] = 2(2^2 - 3 \cdot 3) = 2(4 - 9) = 2(-5) = -10$

(5) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

(7) $(\alpha - \beta)^2 = -8$ なので、 $\alpha - \beta = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$

### 問題2

二次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ について、解を $\alpha$、$\beta$ とします。

(1) 1つの解が他の解の2倍である場合、$\beta = 2\alpha$ とします。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \alpha + 2\alpha = 3\alpha = 6$

$\alpha = 2$

$\beta = 2\alpha = 4$

$\alpha \beta = 2 \cdot 4 = 8 = m$

したがって、 $m = 8$ で、解は2と4です。

(2) 2つの解の差が4である場合、$\beta = \alpha + 4$ とします。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \alpha + (\alpha + 4) = 2\alpha + 4 = 6$

$2\alpha = 2$

$\alpha = 1$

$\beta = \alpha + 4 = 5$

$\alpha \beta = 1 \cdot 5 = 5 = m$

したがって、$m = 5$ で、解は1と5です。

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3. 最終的な答え

### 問題1

(1) -2

(2) -8

(3) -6

(4) -10

(5) 6

(6) -2/3

(7) $\pm 2\sqrt{2}i$

### 問題2

(1) $m = 8$、解は2と4

(2) $m = 5$、解は1と5