$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$が成り立つことを利用して、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$の和を求めます。

1. 問題の内容

$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$が成り立つことを利用して、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$の和を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$ を用いて、和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4}(\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$

この和は、以下のように書き下すことができます。

$\frac{1}{4} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{13}) + \dots + (\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1})]$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆるtelescoping sum（伸縮和）の形になっています。したがって、多くの項が打ち消し合い、最初の項と最後の項だけが残ります。

$\frac{1}{4} (1 - \frac{1}{4n+1})$

$\frac{1}{4} (\frac{4n+1}{4n+1} - \frac{1}{4n+1})$

$\frac{1}{4} (\frac{4n}{4n+1})$

$\frac{n}{4n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{4n+1}$