$0 < x < 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$ である。次の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^3$ (3) $x^5 + \frac{1}{x^5}$

## 問題7

1. 問題の内容

$0 < x < 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$ である。次の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^3$

(3) $x^5 + \frac{1}{x^5}$

2. 解き方の手順

(1)

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であるから、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 6 + 2 = 8$

$x > 0$ より $x + \frac{1}{x} > 0$ なので、

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2)

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$ と $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ から $x$ の値を直接求めることは難しい。しかし、$x^3$ の値を直接求める必要はない。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$(2\sqrt{2})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(2\sqrt{2})$

$16\sqrt{2} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 6\sqrt{2}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 10\sqrt{2}$

また、$x < 1$より$x^3 < 1$で$\frac{1}{x}>1$より$\frac{1}{x^3}>1$である。

$(x+\frac{1}{x})(x^2 -1 + \frac{1}{x^2}) = x^3 + \frac{1}{x^3}$

$2\sqrt{2} (6-1) = x^3 + \frac{1}{x^3}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 10\sqrt{2}$

よって、$x^6 -10\sqrt{2}x^3 +1 =0$

$x^3 = 5\sqrt{2} \pm \sqrt{50-1} = 5\sqrt{2} \pm 7$

$0 < x < 1$より、$0<x^3<1$であるため、$x^3 = 5\sqrt{2}-7 \approx 0.071$

(3)

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} = x^5 + \frac{1}{x^5} + (x + \frac{1}{x})$

$6 \cdot 10\sqrt{2} = x^5 + \frac{1}{x^5} + 2\sqrt{2}$

$60\sqrt{2} = x^5 + \frac{1}{x^5} + 2\sqrt{2}$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = 58\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$

(2) $x^3 = 5\sqrt{2}-7$

(3) $x^5 + \frac{1}{x^5} = 58\sqrt{2}$

## 問題8

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする。$a^2 + ab + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5-1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、

$5 < 3 + \sqrt{5} < 6$

$\frac{5}{2} < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$

$2.5 < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$

よって、$a = 2$ であり、$b = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3 + \sqrt{5} - 4}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - ab = (a+b)^2 - ab = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 - 2(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})$

$= (\frac{9+6\sqrt{5}+5}{4}) - (\sqrt{5}-1) = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} - \frac{4\sqrt{5}-4}{4} = \frac{18+2\sqrt{5}}{4} = \frac{9+\sqrt{5}}{2}$

$a^2 + ab + b^2 = 2^2 + 2(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) + (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^2 = 4 + \sqrt{5} - 1 + \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4} = 3 + \sqrt{5} + \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = 3 + \sqrt{5} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{9 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9 + \sqrt{5}}{2}$

## 問題9

1. 問題の内容

$\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = (2+\sqrt{3}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + (2-\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{4-3} = 4 + 2\sqrt{1} = 4 + 2 = 6$

$\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} > 0$ なので、

$\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$