2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフについて、以下の問いに答えます。 (1) このグラフがx軸と異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) このグラフがx軸に接するときの、接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフについて、以下の問いに答えます。

(1) このグラフがx軸と異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) このグラフがx軸に接するときの、接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフがx軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D$ が $D > 0$ であることです。

判別式 $D$ は、

$D = (-2)^2 - 4(1)(m-1)$

$D = 4 - 4m + 4$

$D = 8 - 4m$

$D > 0$ であるとき、$8 - 4m > 0$

$8 > 4m$

$m < 2$

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフがx軸に接する条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ であることです。

判別式 $D$ は、$D = 8 - 4m$ でした。

$D = 0$ であるとき、$8 - 4m = 0$

$8 = 4m$

$m = 2$

$m=2$ のとき、$y = x^2 - 2x + 2 - 1 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$y = 0$ となるのは、$x = 1$ のときです。

したがって、接点の座標は $(1, 0)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m < 2$

(2) $(1, 0)$