与えられた2つの連立不等式を解く問題です。 (1) $ \begin{cases} x^2 - x - 12 \le 0 \\ x^2 - 3x + 2 > 0 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x^2 - 10x + 20 < 0 \\ -x^2 + x + 12 > 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた2つの連立不等式を解く問題です。

(1)

$$

\begin{cases}

x^2 - x - 12 \le 0 \\

x^2 - 3x + 2 > 0

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x^2 - 10x + 20 < 0 \\

-x^2 + x + 12 > 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一つ目の不等式 $x^2 - x - 12 \le 0$ を解きます。

因数分解すると $(x-4)(x+3) \le 0$ となるので、$-3 \le x \le 4$ です。

次に、二つ目の不等式 $x^2 - 3x + 2 > 0$ を解きます。

因数分解すると $(x-1)(x-2) > 0$ となるので、$x < 1$ または $x > 2$ です。

これら2つの解の共通範囲を求めます。

$-3 \le x \le 4$ と $x < 1$ または $x > 2$ の共通範囲は、$-3 \le x < 1$ または $2 < x \le 4$ です。

(2)

まず、一つ目の不等式 $x^2 - 10x + 20 < 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$$

x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5}

$$

したがって、$5-\sqrt{5} < x < 5+\sqrt{5}$ となります。

次に、二つ目の不等式 $-x^2 + x + 12 > 0$ を解きます。

両辺に $-1$ を掛けて $x^2 - x - 12 < 0$ とします。

因数分解すると $(x-4)(x+3) < 0$ となるので、$-3 < x < 4$ です。

これら2つの解の共通範囲を求めます。

$5-\sqrt{5} < x < 5+\sqrt{5}$ と $-3 < x < 4$ の共通範囲を求めます。

$5 - \sqrt{5} \approx 5 - 2.236 = 2.764$

$5 + \sqrt{5} \approx 5 + 2.236 = 7.236$

したがって、$5-\sqrt{5} < x < 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-3 \le x < 1$, $2 < x \le 4$

(2) $5-\sqrt{5} < x < 4$