三角形ABCにおいて、$\angle B = 32^\circ$, $\angle EAD = 38^\circ$, $BA=BD$, $CA=CE$である。このとき、$\angle BDA$と$\angle C$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle B = 32^\circ$, $\angle EAD = 38^\circ$, $BA=BD$, $CA=CE$である。このとき、$\angle BDA$と$\angle C$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$に着目する。$BA = BD$より、$\triangle ABD$は二等辺三角形である。したがって、$\angle BDA = \angle BAD$である。

$\triangle ABD$の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle B + \angle BDA + \angle BAD = 180^\circ$

$32^\circ + \angle BDA + \angle BDA = 180^\circ$

$2\angle BDA = 180^\circ - 32^\circ$

$2\angle BDA = 148^\circ$

$\angle BDA = \frac{148^\circ}{2} = 74^\circ$

次に、$\triangle ACE$に着目する。$CA=CE$より、$\triangle ACE$は二等辺三角形である。したがって、$\angle CAE = \angle ACE$である。ここで、$\angle CAE = \angle BAC - \angle BAE = \angle BAC - (\angle BAD + \angle EAD)$である。

また、$\angle ACE = \angle C$である。

$\triangle ABC$において、$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$である。

$\angle BAC + 32^\circ + \angle C = 180^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - 32^\circ - \angle C = 148^\circ - \angle C$

$\angle BAD = \angle BDA = 74^\circ$であったから、$\angle BAE = \angle BAD + \angle EAD = 74^\circ + 38^\circ = 112^\circ$

$\angle CAE = \angle BAC - \angle BAE = (148^\circ - \angle C) - 112^\circ = 36^\circ - \angle C$

$\triangle ACE$は二等辺三角形なので、$\angle CAE = \angle ACE = \angle C$

$36^\circ - \angle C = \angle C$

$2\angle C = 36^\circ$

$\angle C = 18^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle BDA = 74^\circ$

$\angle C = 18^\circ$