(1) 直方体において、平面ABFEに平行な辺の本数を求める。 (2) 四角形ABCDを辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、四角形ABCDは$\angle A = \angle D = 90^\circ$, $AB = 6cm$, $AD = 4cm$の台形で、$AD=DC$である。円周率は$\pi$とする。 (3) 三角柱ABC-DEFにおいて、以下の問題を解く。ただし、$AB = 4cm$, $BC = 5cm$, $CA = 3cm$, $AD = 12cm$, $\angle BAC = 90^\circ$である。 (1) 三角柱ABC-DEFの表面積を求める。 (2) 辺BE, CFの中点をそれぞれQ, Rとし、辺AD上に$AP = 9cm$となる点Pをとる。点P, Q, Rを通る平面で三角柱ABC-DEFを2つの立体に分けたとき、平面ABCを含む方の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

(1) 直方体において、平面ABFEに平行な辺の本数を求める。

(2) 四角形ABCDを辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、四角形ABCDは$\angle A = \angle D = 90^\circ$, $AB = 6cm$, $AD = 4cm$の台形で、$AD=DC$である。円周率は$\pi$とする。

(3) 三角柱ABC-DEFにおいて、以下の問題を解く。ただし、$AB = 4cm$, $BC = 5cm$, $CA = 3cm$, $AD = 12cm$, $\angle BAC = 90^\circ$である。

(1) 三角柱ABC-DEFの表面積を求める。

(2) 辺BE, CFの中点をそれぞれQ, Rとし、辺AD上に$AP = 9cm$となる点Pをとる。点P, Q, Rを通る平面で三角柱ABC-DEFを2つの立体に分けたとき、平面ABCを含む方の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面ABFEに平行な辺は、CD, GH, HE, CGの4本である。

(2) 四角形ABCDを回転させると、円柱から円錐をくり抜いたような立体になる。

円柱の半径は$AD = DC = 4cm$, 高さは$4cm$である。円錐の半径は$AB-AD = 6-4 = 2cm$, 高さも$4cm$である。

円柱の体積は

$4^2 \pi \times 4 = 64\pi$

円錐の体積は

$\frac{1}{3} \times 2^2 \pi \times 4 = \frac{16}{3}\pi$

したがって、求める体積は

$64\pi - \frac{16}{3}\pi = \frac{192-16}{3}\pi = \frac{176}{3}\pi$

(3)

(1) 三角柱の表面積は、2つの底面(三角形ABC)と3つの側面(長方形)の面積の和である。

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$

長方形ABED, BCFE, CADFの面積はそれぞれ

$4 \times 12 = 48$

$5 \times 12 = 60$

$3 \times 12 = 36$

したがって、三角柱の表面積は

$2 \times 6 + 48 + 60 + 36 = 12 + 48 + 60 + 36 = 156$

(2) 三角柱を平面PQRで切断したとき、平面ABCを含む方の立体の体積を求める。

点Q, Rはそれぞれ辺BE, CFの中点であるから、BQ=QE, CR=RF。

また、AP=9。

三角柱ABC-DEFの体積は$6 \times 12 = 72$

点P,Q,Rを通る平面で切断された立体のうち、DEF側は三角錐になる。

点Pから辺DEにおろした垂線の足をHとする。DH=AP=9より、EH=12-9=3となる。

この三角錐の体積は、三角錐P-QREとして求めることができる。

底面積は三角形QREの面積である。

三角形QREの面積は $\frac{1}{2}QE \times RF = \frac{1}{2} \times \frac{12}{2} \times \frac{12}{2} = 18$

高さはHP=4となる。

$\frac{1}{3} \times 18 \times 4 = 24$

したがって、求める体積は$72-24=48$

3. 最終的な答え

(1) 4本

(2) $\frac{176}{3}\pi cm^3$

(3)

(1) $156 cm^2$

(2) $48 cm^3$