三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表し、OPとABの交点をQとするとき、AQ:QBを求め、さらに三角形POA、三角形PAB、三角形PBOの面積比を求める問題。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表し、OPとABの交点をQとするとき、AQ:QBを求め、さらに三角形POA、三角形PAB、三角形PBOの面積比を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、点Pは線分AD上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{OA} + s\frac{2}{3}\vec{OB}$

と表せる。

また、点Pは線分BC上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{1}{4}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

と表せる。

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{1}{4}t$

$\frac{2}{3}s = 1-t$

これらの式を解くと、$s = \frac{9}{11}$、$t = \frac{8}{11}$となる。

よって、

$\vec{OP} = (1 - \frac{9}{11})\vec{OA} + \frac{9}{11}\frac{2}{3}\vec{OB} = \frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{6}{11}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{8}{11}\frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{8}{11}\vec{OB}= \frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{3}{11}*\frac{8}{3}\vec{OB} = \frac{2}{11}\vec{OA} + (1- \frac{8}{11})*\vec{OB}= \frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{3}{11}*\frac{8}{3}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{6}{11}\vec{OB}$

次に、点Qは線分OP上にあるので、実数kを用いて$\vec{OQ} = k\vec{OP}$と表せる。また、点Qは線分AB上にあるので、実数lを用いて$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$と表せる。

よって、

$k\vec{OP} = k(\frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{6}{11}\vec{OB}) = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{2}{11}k = 1-l$

$\frac{6}{11}k = l$

これらの式を解くと、$k = \frac{11}{8}$、$l = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$となる。

$\vec{OQ} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

よって、AQ:QB = 3:1

最後に、面積比を求める。

$\triangle OAB$の面積をSとすると、

$\triangle POA = \frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OP}| = \frac{1}{2}|\vec{OA} \times (\frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{6}{11}\vec{OB})| = \frac{1}{2}|\frac{6}{11}(\vec{OA} \times \vec{OB})| = \frac{6}{11} * \frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{3}{11} S$

$\triangle POB = \frac{1}{2}|\vec{OB} \times \vec{OP}| = \frac{1}{2}|\vec{OB} \times (\frac{2}{11}\vec{OA} + \frac{6}{11}\vec{OB})| = \frac{1}{2}|\frac{2}{11}(\vec{OB} \times \vec{OA})| = \frac{1}{2}|\frac{-2}{11}(\vec{OA} \times \vec{OB})| = \frac{2}{11} * \frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{11} S$

$\triangle PAB = S - \triangle POA - \triangle POB = S - \frac{3}{11} S - \frac{1}{11}S = \frac{7}{11} S$

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = \frac{3}{11} : \frac{7}{11} : \frac{1}{11} = 3:7:1$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{2}{11} \vec{OA} + \frac{6}{11} \vec{OB}$

AQ:QB = 3:1

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = 3:7:1$