正六角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの数 $_6C_3$ で求められます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの数 $_6C_2$ で求められます。これは、正六角形の辺と対角線の両方を含む数になります。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 対角線の本数

2個の頂点を結ぶ線分の本数から正六角形の辺の数を引けば、対角線の本数が求められます。

正六角形の辺の数は6なので、対角線の本数は $15 - 6 = 9$ です。

または、対角線の本数を直接求めることができます。正六角形の各頂点から3つの対角線が引けます（自分自身と隣接する2つの頂点を除く）。6つの頂点があるので $6 \times 3 = 18$ となりますが、各対角線は2つの頂点から引かれるので、2で割る必要があります。したがって、対角線の本数は $18 / 2 = 9$ です。

3. 最終的な答え

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数: 20個

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数: 15本

(3) 対角線の本数: 9本