3点 $A(0, 1)$、$B(-1, 2)$、$C(2, 3)$ を通る円の方程式を求める問題です。円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおいて、与えられた3点の座標を代入することで、$l$, $m$, $n$ に関する連立方程式を作り、解くことで円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 $A(0, 1)$、$B(-1, 2)$、$C(2, 3)$ を通る円の方程式を求める問題です。円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおいて、与えられた3点の座標を代入することで、$l$, $m$, $n$ に関する連立方程式を作り、解くことで円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

(2) 点 $A(0, 1)$ を通るので、$0^2 + 1^2 + l(0) + m(1) + n = 0$。よって、$m + n = -1$ (①)。

(3) 点 $B(-1, 2)$ を通るので、$(-1)^2 + 2^2 + l(-1) + m(2) + n = 0$。よって、$1 + 4 - l + 2m + n = 0$、すなわち、$-l + 2m + n = -5$ (②)。

(4) 点 $C(2, 3)$ を通るので、$2^2 + 3^2 + l(2) + m(3) + n = 0$。よって、$4 + 9 + 2l + 3m + n = 0$、すなわち、$2l + 3m + n = -13$ (③)。

(5) 連立方程式

$\begin{cases}

m + n = -1 & (①) \\

-l + 2m + n = -5 & (②) \\

2l + 3m + n = -13 & (③)

\end{cases}$

を解く。

(6) ①より $n = -1 - m$。これを②と③に代入する。

$-l + 2m + (-1 - m) = -5$ より、$-l + m = -4$ (④)。

$2l + 3m + (-1 - m) = -13$ より、$2l + 2m = -12$、すなわち、$l + m = -6$ (⑤)。

(7) ④と⑤の連立方程式を解く。

$\begin{cases}

-l + m = -4 & (④) \\

l + m = -6 & (⑤)

\end{cases}$

④+⑤より、$2m = -10$、よって、$m = -5$。

⑤に代入して、$l - 5 = -6$、よって、$l = -1$。

(8) $n = -1 - m = -1 - (-5) = 4$。

(9) よって、円の方程式は $x^2 + y^2 - x - 5y + 4 = 0$。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - x - 5y + 4 = 0$