三角形OABがあり、$OA=5$, $OB=8$, $AB=7$とする。点Pの位置ベクトルを$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}$と定める。 (1) 三角形OABの面積を求める。 (2) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$のとき、点Pが存在し得る領域の面積が、三角形OABの面積の何倍であるか求める。 (3) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $s+2t \ge 2$, $2s+t \le 2$のとき、点Pが存在し得る領域の面積が、三角形OABの面積の何倍であるか求める。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、$OA=5$, $OB=8$, $AB=7$とする。点Pの位置ベクトルを$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}$と定める。

(1) 三角形OABの面積を求める。

(2) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$のとき、点Pが存在し得る領域の面積が、三角形OABの面積の何倍であるか求める。

(3) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $s+2t \ge 2$, $2s+t \le 2$のとき、点Pが存在し得る領域の面積が、三角形OABの面積の何倍であるか求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OABの面積を求める。余弦定理を使って$\cos \angle AOB$を計算し、$\sin \angle AOB$を求める。面積の公式に代入する。

$\cos \angle AOB = \frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2OA\cdot OB} = \frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8} = \frac{25+64-49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

$\sin \angle AOB = \sqrt{1-\cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle OAB = \frac{1}{2}OA\cdot OB \cdot \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) $s \ge 0$, $t \ge 0$, $1 \le s+t \le 2$のとき。

$s+t=k$とおくと、$t=-s+k$となる。この条件を満たす領域は、

$s \ge 0$, $t \ge 0$より、第一象限である。

$1 \le s+t \le 2$は、$s+t=1$と$s+t=2$の間の領域を表す。

$s+t=1$と$s+t=2$は平行な直線なので、領域は平行四辺形になる。

$s+t=1$と$s+t=2$の交点はそれぞれ$(1,0),(0,1)$と$(2,0),(0,2)$である。

領域は$\triangle OAB$の面積の何倍であるか。

$1 \le s+t \le 2$より、

$1 \le s+t$のとき、$\vec{OP} = (s+t)\left(\frac{s}{s+t}\vec{OA}+\frac{t}{s+t}\vec{OB}\right)$.

$S = \frac{s}{s+t}$, $T = \frac{t}{s+t}$とおくと、$S+T=1$であり、$S \ge 0$, $T \ge 0$。

$\vec{OU}=S\vec{OA}+T\vec{OB}$とすると、$U$は線分AB上にある。

$\vec{OP} = (s+t)\vec{OU}$. $1 \le s+t \le 2$より、$\vec{OP}=k\vec{OU}$となり、$k$は1から2の間を動く。

したがって、線分ABを、Oから見て1倍から2倍に拡大した領域となる。

三角形OABの面積をSとすると、面積は、$2^2S - 1^2S = 4S-S = 3S$. よって3倍である。

(3) $s \ge 0, t \ge 0, s+2t \ge 2, 2s+t \le 2$のとき。

$s+2t=2$と$2s+t=2$の交点を求める。

$s+2t=2$より$s=2-2t$, $2s+t=2$に代入すると、$2(2-2t)+t=2$, $4-4t+t=2$, $-3t=-2$, $t=\frac{2}{3}$.

$s = 2-2(\frac{2}{3}) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.

交点は$(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$。

$s+2t=2$は、$(2,0)$と$(0,1)$を通る。

$2s+t=2$は、$(1,0)$と$(0,2)$を通る。

$\vec{OA'}=\frac{1}{2}\vec{OA}$, $\vec{OB'}=\frac{1}{2}\vec{OB}$とする。

領域は三角形OABから三角形OA'B'を引いたものと相似である。

$s+2t \ge 2, 2s+t \le 2$より、$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}$を満たす領域の面積は、

$\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OB}$と$(\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OB})$で作られる領域。これは、$\triangle OAB$の$\frac{4}{9}$である。

$\triangle OAB$の面積を$S$とすると、$s+2t=2$上の点$\frac{2}{3} OA + \frac{2}{3}OB$のとき、$t = \frac{2}{3} OB$, $s=\frac{2}{3}OA$

求める面積は$\triangle OAB$ の面積から$\triangle OA'B'$の面積を引いたもので、 $\triangle OA'B' = \frac{1}{4} \triangle OAB$ だから、求める面積は、$\frac{3}{4}$ になる。 $t + 2s =2$のときの面積は$\triangle OA'B' = \frac{1}{4} \triangle OAB$なので、 $\triangle OAB$から引くと$\frac{3}{4}$となる。 よって面積は$\triangle OAB \frac{3}{4}$となる。

$\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}$, $s \ge 0, t \ge 0, s+2t=2, 2s+t=2$.

$A'=\frac{2}{3}A, B'=\frac{2}{3}B$, $\frac{4}{9}S$

3. 最終的な答え

(1) $10\sqrt{3}$

(2) 3倍

(3) $\frac{4}{9}$倍