x軸とy軸の両方に接し、与えられた点を通る円の方程式を求める問題です。ここでは、(1) (4, 2) と (2) (-1, 2) の2つの場合について解きます。

1. 問題の内容

x軸とy軸の両方に接し、与えられた点を通る円の方程式を求める問題です。ここでは、(1) (4, 2) と (2) (-1, 2) の2つの場合について解きます。

2. 解き方の手順

(1) 点(4, 2)を通る場合

x軸とy軸の両方に接する円の中心は、$(r, r)$ または $(r, -r)$ または $(-r, r)$ または $(-r, -r)$ の形になります。ただし、$r$ は円の半径です。点(4, 2)は第1象限にあるので、円の中心も第1象限にあるはずです。したがって、円の中心は$(r, r)$の形であると仮定できます。

円の方程式は、

$(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

となります。この円が点(4, 2)を通るので、

$(4 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$

を展開して整理すると、

$16 - 8r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 12r + 20 = 0$

$(r - 2)(r - 10) = 0$

$r = 2, 10$

したがって、円の方程式は以下の2つになります。

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100$

(2) 点(-1, 2)を通る場合

点(-1, 2)は第2象限にあるので、円の中心は$(-r, r)$の形であると仮定できます。

円の方程式は、

$(x + r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

となります。この円が点(-1, 2)を通るので、

$(-1 + r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$

を展開して整理すると、

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1, 5$

したがって、円の方程式は以下の2つになります。

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

$(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$, $(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100$

(2) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$, $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$