3つの直線 $x-y=-1$, $x+y=3$, $x+2y=-1$ で囲まれた三角形について、以下の問いに答えます。 (1) 三角形の3つの頂点の座標を求めます。 (2) 三角形の外接円の方程式を求めます。 (3) 三角形の外接円の半径と、外心の座標を求めます。

1. 問題の内容

3つの直線 $x-y=-1$, $x+y=3$, $x+2y=-1$ で囲まれた三角形について、以下の問いに答えます。

(1) 三角形の3つの頂点の座標を求めます。

(2) 三角形の外接円の方程式を求めます。

(3) 三角形の外接円の半径と、外心の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める

3つの直線の交点を求めます。

* $x-y=-1$ と $x+y=3$ の交点：

2式を足すと、$2x=2$ より $x=1$。これを $x+y=3$ に代入すると $1+y=3$ より $y=2$。よって、交点は $(1, 2)$。

* $x-y=-1$ と $x+2y=-1$ の交点：

$x=y-1$を$x+2y=-1$に代入して $y-1+2y=-1$, $3y=0$, $y=0$。 $x=0-1=-1$。よって、交点は $(-1, 0)$。

* $x+y=3$ と $x+2y=-1$ の交点：

$x=3-y$を$x+2y=-1$に代入して、$3-y+2y=-1$, $y=-4$。$x=3-(-4)=7$。よって、交点は $(7, -4)$。

したがって、三角形の頂点の座標は $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(7, -4)$ です。

(2) 外接円の方程式を求める

外接円の方程式を $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ とおきます。

3つの頂点 $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(7, -4)$ を通るので、

\begin{align*} (1-a)^2 + (2-b)^2 &= r^2 \\ (-1-a)^2 + (0-b)^2 &= r^2 \\ (7-a)^2 + (-4-b)^2 &= r^2 \end{align*}

これらの式から $r^2$ を消去します。

まず、1番目の式と2番目の式から

$(1-a)^2 + (2-b)^2 = (-1-a)^2 + b^2$

$1-2a+a^2+4-4b+b^2 = 1+2a+a^2+b^2$

$5-2a-4b = 1+2a$

$4a+4b = 4$

$a+b = 1$

$b=1-a$

次に、2番目の式と3番目の式から

$(-1-a)^2 + b^2 = (7-a)^2 + (-4-b)^2$

$(1+a)^2 + b^2 = (7-a)^2 + (4+b)^2$

$1+2a+a^2+b^2 = 49-14a+a^2+16+8b+b^2$

$1+2a = 65-14a+8b$

$16a - 8b = 64$

$2a - b = 8$

ここに、$b=1-a$を代入すると、

$2a - (1-a) = 8$

$3a = 9$

$a=3$

$b=1-3=-2$

したがって、円の中心は $(3, -2)$ です。

半径の2乗 $r^2$ は $(-1-3)^2 + (0-(-2))^2 = 16 + 4 = 20$ となります。

外接円の方程式は $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 20$ です。

(3) 外接円の半径と外心の座標を求める

外接円の半径は $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ です。

外心の座標は $(3, -2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の頂点の座標は $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(7, -4)$ です。

(2) 外接円の方程式は $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 20$ です。

(3) 外接円の半径は $2\sqrt{5}$ で、外心の座標は $(3, -2)$ です。