点$(-1, 2)$を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点$(-1, 2)$を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

$x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心は、$(r, r)$または$(-r, r)$（$r>0$）の形になります。今回は、円が第2象限にあるので、中心は$(-r, r)$となります。

円の方程式は、

$(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$

と表すことができます。この円が点$(-1, 2)$を通るので、

$(-1+r)^2 + (2-r)^2 = r^2$

が成り立ちます。これを展開して整理すると、

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

よって、$r = 1, 5$となります。

したがって、円の方程式は、

$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 1$

または

$(x+5)^2 + (y-5)^2 = 25$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 1$

$(x+5)^2 + (y-5)^2 = 25$