関数 $f(x) = 3x^3 + x + 5$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その導関数に $x = 2$ を代入した値 $f'(2)$ を計算することが問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^3 + x + 5$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その導関数に $x = 2$ を代入した値 $f'(2)$ を計算することが問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = 3x^3 + x + 5$ の各項を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(5)$

べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いると、

$\frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

定数の微分 $\frac{d}{dx}(5) = 0$

したがって、導関数 $f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = 9x^2 + 1 + 0 = 9x^2 + 1$

次に、 $f'(x)$ に $x = 2$ を代入して $f'(2)$ を計算します。

$f'(2) = 9(2)^2 + 1$

$f'(2) = 9 \cdot 4 + 1$

$f'(2) = 36 + 1$

$f'(2) = 37$

3. 最終的な答え

37