関数 $f(x) = 7x^3 + 3x^2 + 5$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=2$ を代入したときの値 $f'(2)$ を計算します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 7x^3 + 3x^2 + 5$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=2$ を代入したときの値 $f'(2)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を使用します。

$f(x) = 7x^3 + 3x^2 + 5$

$f'(x) = \frac{d}{dx} (7x^3 + 3x^2 + 5)$

$f'(x) = 7 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 0$

$f'(x) = 21x^2 + 6x$

次に、$x=2$ を $f'(x)$ に代入して $f'(2)$ を計算します。

$f'(2) = 21(2)^2 + 6(2)$

$f'(2) = 21(4) + 12$

$f'(2) = 84 + 12$

$f'(2) = 96$

3. 最終的な答え

$f'(2) = 96$