次の不定積分を計算します。 $\int x^2 \sqrt{x+2} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int x^2 \sqrt{x+2} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$t = x + 2$ とおくと、$x = t - 2$、$dx = dt$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int (t-2)^2 \sqrt{t} dt = \int (t^2 - 4t + 4) \sqrt{t} dt = \int (t^{\frac{5}{2}} - 4t^{\frac{3}{2}} + 4t^{\frac{1}{2}}) dt$

各項を積分します。

$\int t^{\frac{5}{2}} dt = \frac{2}{7}t^{\frac{7}{2}} + C_1$

$\int 4t^{\frac{3}{2}} dt = 4 \cdot \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}} + C_2 = \frac{8}{5}t^{\frac{5}{2}} + C_2$

$\int 4t^{\frac{1}{2}} dt = 4 \cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C_3 = \frac{8}{3}t^{\frac{3}{2}} + C_3$

したがって、

$\int (t^{\frac{5}{2}} - 4t^{\frac{3}{2}} + 4t^{\frac{1}{2}}) dt = \frac{2}{7}t^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5}t^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3}t^{\frac{3}{2}} + C$

ここで、$t = x+2$ を代入します。

$\frac{2}{7}(x+2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} + C$

共通因子 $(x+2)^{\frac{3}{2}}$ でくくります。

$(x+2)^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{7}(x+2)^2 - \frac{8}{5}(x+2) + \frac{8}{3}) + C$

$(x+2)^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{7}(x^2+4x+4) - \frac{8}{5}x - \frac{16}{5} + \frac{8}{3}) + C$

$(x+2)^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{7}x^2 + \frac{8}{7}x + \frac{8}{7} - \frac{8}{5}x - \frac{16}{5} + \frac{8}{3}) + C$

$(x+2)^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{7}x^2 + (\frac{8}{7} - \frac{8}{5})x + (\frac{8}{7} - \frac{16}{5} + \frac{8}{3})) + C$

$\frac{8}{7} - \frac{8}{5} = \frac{40 - 56}{35} = -\frac{16}{35}$

$\frac{8}{7} - \frac{16}{5} + \frac{8}{3} = \frac{8(15) - 16(21) + 8(35)}{105} = \frac{120 - 336 + 280}{105} = \frac{64}{105}$

したがって、

$(x+2)^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{7}x^2 - \frac{16}{35}x + \frac{64}{105}) + C$

$(x+2)^{\frac{3}{2}} \frac{30x^2 - 48x + 64}{105} + C$

$\frac{2}{105}(x+2)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 24x + 32) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{105}(x+2)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 24x + 32) + C$