極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 7}{4n^2 - 5}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 7}{4n^2 - 5}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \to \infty$ のときの極限を求めるために、分子と分母を $n^2$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 7}{4n^2 - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3n^2 + 7)/n^2}{(4n^2 - 5)/n^2}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{7}{n^2}}{4 - \frac{5}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{7}{n^2} \to 0$ であり、$\frac{5}{n^2} \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{7}{n^2}}{4 - \frac{5}{n^2}} = \frac{3 + 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$