与えられた数列の極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{5n^2 + 4n + 3}}{n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{5n^2 + 4n + 3}}{n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \to \infty$ のときの極限を求めるために、分子の根号の中の $n$ の最高次である $n^2$ でくくり出し、分母の $n$ で割ることを考えます。

まず、分子の根号の中を $n^2$ でくくり出すと、

$\sqrt{5n^2 + 4n + 3} = \sqrt{n^2(5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2})}$

次に、根号の外に $n$ を出すと、

$\sqrt{n^2(5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2})} = n\sqrt{5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}$

与えられた式に代入すると、

$\frac{\sqrt{5n^2 + 4n + 3}}{n} = \frac{n\sqrt{5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}}{n} = \sqrt{5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{4}{n} \to 0$ かつ $\frac{3}{n^2} \to 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{5 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}} = \sqrt{5 + 0 + 0} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$