関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は $f(f(x))$ と定義される。まず、$f(x)$ を $f$ に代入する。

$f(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right)$

次に、$f(x)$ の定義式における $x$ を $\frac{x-1}{x}$ で置き換える。

$f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}$

分子を計算する。

$\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1-x}{x} = \frac{-1}{x}$

したがって、

$f(f(x)) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

分母と分子に $x$ をかける。

$f(f(x)) = \frac{-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

$f(f(x)) = -\frac{1}{x-1}$