座標平面上の3点 $O(0, 0), P(\cos{\theta}, \sin{\theta}), Q(1, 3\sin{2\theta})$ が三角形をなすとき、三角形OPQの面積の最大値を求める問題です。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $O(0, 0), P(\cos{\theta}, \sin{\theta}), Q(1, 3\sin{2\theta})$ が三角形をなすとき、三角形OPQの面積の最大値を求める問題です。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

ステップ1: 三角形OPQの面積Sを$\theta$の関数として表します。

$S = \frac{1}{2} |(\cos{\theta} \cdot 3\sin{2\theta} - \sin{\theta} \cdot 1)|$

$S = \frac{1}{2} |3\cos{\theta}\sin{2\theta} - \sin{\theta}|$

$S = \frac{1}{2} |3\cos{\theta}(2\sin{\theta}\cos{\theta}) - \sin{\theta}|$

$S = \frac{1}{2} |6\sin{\theta}\cos^2{\theta} - \sin{\theta}|$

$S = \frac{1}{2} |\sin{\theta}(6\cos^2{\theta} - 1)|$

$S = \frac{1}{2} |\sin{\theta}(6(1 - \sin^2{\theta}) - 1)|$

$S = \frac{1}{2} |\sin{\theta}(6 - 6\sin^2{\theta} - 1)|$

$S = \frac{1}{2} |\sin{\theta}(5 - 6\sin^2{\theta})|$

ステップ2: $t = \sin{\theta}$ とおき、面積をtの関数として表します。

$S = \frac{1}{2} |t(5 - 6t^2)| = \frac{1}{2} |5t - 6t^3|$

ただし、 $-1 \le t \le 1$

ステップ3: $f(t) = 5t - 6t^3$ とおき、f(t)の増減を調べます。

$f'(t) = 5 - 18t^2$

$f'(t) = 0$ となるのは、 $18t^2 = 5$ より、$t^2 = \frac{5}{18}$ なので、$t = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$

ステップ4: $t = \frac{\sqrt{10}}{6}$ のとき、

$f(\frac{\sqrt{10}}{6}) = 5(\frac{\sqrt{10}}{6}) - 6(\frac{\sqrt{10}}{6})^3 = 5(\frac{\sqrt{10}}{6}) - 6(\frac{10\sqrt{10}}{216}) = \frac{5\sqrt{10}}{6} - \frac{5\sqrt{10}}{18} = \frac{15\sqrt{10} - 5\sqrt{10}}{18} = \frac{10\sqrt{10}}{18} = \frac{5\sqrt{10}}{9}$

ステップ5: $t = -\frac{\sqrt{10}}{6}$ のとき、

$f(-\frac{\sqrt{10}}{6}) = 5(-\frac{\sqrt{10}}{6}) - 6(-\frac{\sqrt{10}}{6})^3 = -\frac{5\sqrt{10}}{6} + \frac{5\sqrt{10}}{18} = -\frac{10\sqrt{10}}{18} = -\frac{5\sqrt{10}}{9}$

ステップ6: $t = 1$ のとき、$f(1) = 5 - 6 = -1$

ステップ7: $t = -1$ のとき、$f(-1) = -5 + 6 = 1$

ステップ8: したがって、$S = \frac{1}{2}|f(t)|$ の最大値は、$\frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{10}}{9} = \frac{5\sqrt{10}}{18}$ か、$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ のいずれかです。

$\frac{5\sqrt{10}}{18} \approx \frac{5 \times 3.16}{18} \approx \frac{15.8}{18} \approx 0.878 > \frac{1}{2} = 0.5$

ステップ9: ただし、3点O, P, Qが一直線上にあるとき、三角形をなさない。

$\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{3\sin{2\theta}}{1} = 6\sin{\theta}\cos{\theta}$

$\tan{\theta} = 6\sin{\theta}\cos{\theta}$

$\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = 6\sin{\theta}\cos{\theta}$

$\sin{\theta} = 6\sin{\theta}\cos^2{\theta}$

$\sin{\theta}(6\cos^2{\theta} - 1) = 0$

$\sin{\theta} = 0$ または $6\cos^2{\theta} = 1$

$\sin{\theta} = 0$ または $\cos^2{\theta} = \frac{1}{6}$

$\sin{\theta} = 0$ ならば $t = 0$ で、$S = 0$

$\cos{\theta} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ ならば $\sin^2{\theta} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ なので、$t = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$。このとき、$|t(5-6t^2)| = |\pm \sqrt{\frac{5}{6}}(5 - 6 \cdot \frac{5}{6})| = |\pm \sqrt{\frac{5}{6}}(5 - 5)| = 0$

したがって、三角形OPQの面積の最大値は $\frac{5\sqrt{10}}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{10}}{18}$