スカラー場 $\varphi = xy^3 - yz^2$ と点 $P(1,1,-1)$ について、以下のものを求める。 (a) $(\nabla \varphi)_P$ (b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $\mathbf{n}$ (c) 点 $P$ における $\mathbf{n}$ の方向への方向微分係数 (d) 点 $P$ における $\mathbf{a} = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数

1. 問題の内容

スカラー場 $\varphi = xy^3 - yz^2$ と点 $P(1,1,-1)$ について、以下のものを求める。

(a) $(\nabla \varphi)_P$

(b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $\mathbf{n}$

(c) 点 $P$ における $\mathbf{n}$ の方向への方向微分係数

(d) 点 $P$ における $\mathbf{a} = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数

2. 解き方の手順

(a) 勾配ベクトル $\nabla \varphi$ を計算し、点 $P$ での値を求める。

まず、$\varphi$ を $x, y, z$ でそれぞれ偏微分する。

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y^3$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3xy^2 - z^2$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -2yz$

したがって、

$\nabla \varphi = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) = (y^3, 3xy^2 - z^2, -2yz)$

点 $P(1, 1, -1)$ での勾配ベクトルは、

$(\nabla \varphi)_P = (1^3, 3(1)(1)^2 - (-1)^2, -2(1)(-1)) = (1, 3 - 1, 2) = (1, 2, 2)$

(b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

$(\nabla \varphi)_P = (1, 2, 2)$ の大きさを計算する。

$||(\nabla \varphi)_P|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

単位ベクトル $\mathbf{n}$ は、$(\nabla \varphi)_P$ をその大きさで割ったものになる。

$\mathbf{n} = \frac{(\nabla \varphi)_P}{||(\nabla \varphi)_P||} = \frac{(1, 2, 2)}{3} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$

(c) 点 $P$ における $\mathbf{n}$ の方向への方向微分係数を求める。

これは $\nabla \varphi$ と $\mathbf{n}$ の内積で与えられる。

$(\nabla \varphi)_P \cdot \mathbf{n} = (1, 2, 2) \cdot \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = 1\cdot\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{2}{3} + 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$

または、単位ベクトル$\mathbf{n}$の方向への方向微分係数は$\|(\nabla \varphi)_P\| = 3$と一致する。

(d) 点 $P$ における $\mathbf{a} = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数を求める。

まず、ベクトル $\mathbf{a}$ の単位ベクトル $\mathbf{u}$ を求める。

$||\mathbf{a}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{a}}{||\mathbf{a}||} = \frac{(1, -1, 2)}{\sqrt{6}} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$

方向微分係数は $(\nabla \varphi)_P$ と $\mathbf{u}$ の内積で与えられる。

$(\nabla \varphi)_P \cdot \mathbf{u} = (1, 2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right) = 1\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} + 2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) + 2\cdot\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(a) $(\nabla \varphi)_P = (1, 2, 2)$

(b) $\mathbf{n} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$

(c) 3

(d) $\frac{\sqrt{6}}{2}$