スカラー場 $\varphi = xy^3 - yz^2$ と点 $P(1, 1, -1)$ について、以下の問いに答えます。 (a) $\nabla \varphi$ を点 $P$ で評価した値 $(\nabla \varphi)_P$ を求めます。 (b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $\bf{n}$ を求めます。 (c) 点 $P$ における $\bf{n}$ の方向への方向微分係数を求めます。 (d) 点 $P$ におけるベクトル $\bf{a} = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数を求めます。

## 回答

1. 問題の内容

スカラー場 $\varphi = xy^3 - yz^2$ と点 $P(1, 1, -1)$ について、以下の問いに答えます。

(a) $\nabla \varphi$ を点 $P$ で評価した値 $(\nabla \varphi)_P$ を求めます。

(b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $\bf{n}$ を求めます。

(c) 点 $P$ における $\bf{n}$ の方向への方向微分係数を求めます。

(d) 点 $P$ におけるベクトル $\bf{a} = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(a) $\nabla \varphi$ を計算し、点 $P$ で評価します。

まず、$\nabla \varphi$ を計算します。

$\nabla \varphi = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y^3$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3xy^2 - z^2$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -2yz$

したがって、$\nabla \varphi = (y^3, 3xy^2 - z^2, -2yz)$

点 $P(1, 1, -1)$ で評価すると、

$(\nabla \varphi)_P = ((1)^3, 3(1)(1)^2 - (-1)^2, -2(1)(-1)) = (1, 2, 2)$

(b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $\bf{n}$ を求めます。

$(\nabla \varphi)_P = (1, 2, 2)$ の大きさを計算します。

$||(\nabla \varphi)_P|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

したがって、単位ベクトル $\bf{n}$ は、

$\bf{n} = \frac{(\nabla \varphi)_P}{||(\nabla \varphi)_P||} = \frac{(1, 2, 2)}{3} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$

(c) 点 $P$ における $\bf{n}$ の方向への方向微分係数を求めます。

方向微分係数は、$\nabla \varphi$ と $\bf{n}$ の内積で与えられます。

$D_{\bf{n}} \varphi(P) = (\nabla \varphi)_P \cdot \bf{n} = (1, 2, 2) \cdot \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$

(d) 点 $P$ におけるベクトル $\bf{a} = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数を求めます。

まず、$\bf{a}$ の単位ベクトル $\bf{u}$ を求めます。

$||\bf{a}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$\bf{u} = \frac{\bf{a}}{||\bf{a}||} = \frac{(1, -1, 2)}{\sqrt{6}} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$

方向微分係数は、$\nabla \varphi$ と $\bf{u}$ の内積で与えられます。

$D_{\bf{u}} \varphi(P) = (\nabla \varphi)_P \cdot \bf{u} = (1, 2, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right) = \frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(a) $(\nabla \varphi)_P = (1, 2, 2)$

(b) $\bf{n} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$

(c) $D_{\bf{n}} \varphi(P) = 3$

(d) $D_{\bf{u}} \varphi(P) = \frac{\sqrt{6}}{2}$