スカラー場 $\varphi = xy^3 - yz^2$ と点 $P(1, 1, -1)$ について、以下のものを求めます。 (a) $(\nabla \varphi)_P$ (b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $n$ (c) 点 $P$ における $n$ の方向への方向微分係数 (d) 点 $P$ における $a = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数

1. 問題の内容

スカラー場 $\varphi = xy^3 - yz^2$ と点 $P(1, 1, -1)$ について、以下のものを求めます。

(a) $(\nabla \varphi)_P$

(b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $n$

(c) 点 $P$ における $n$ の方向への方向微分係数

(d) 点 $P$ における $a = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数

2. 解き方の手順

(a) まず、$\varphi$ の勾配 $\nabla \varphi$ を計算します。

$\nabla \varphi = (\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z})$

偏微分を計算すると、

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y^3$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3xy^2 - z^2$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -2yz$

したがって、$\nabla \varphi = (y^3, 3xy^2 - z^2, -2yz)$ です。

点 $P(1, 1, -1)$ における勾配 $(\nabla \varphi)_P$ は、

$(\nabla \varphi)_P = (1^3, 3(1)(1)^2 - (-1)^2, -2(1)(-1)) = (1, 3 - 1, 2) = (1, 2, 2)$

(b) $(\nabla \varphi)_P$ と同じ向きの単位ベクトル $n$ を求めるには、$(\nabla \varphi)_P$ をその大きさで割ります。

$||(\nabla \varphi)_P|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

したがって、$n = \frac{(\nabla \varphi)_P}{||(\nabla \varphi)_P||} = \frac{(1, 2, 2)}{3} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

(c) 点 $P$ における $n$ の方向への方向微分係数は、$(\nabla \varphi)_P \cdot n$ です。

$(\nabla \varphi)_P \cdot n = (1, 2, 2) \cdot (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$

または、単位ベクトル$n$の方向への方向微分係数は、$||(\nabla \varphi)_P||$に等しく、3です。

(d) 点 $P$ における $a = (1, -1, 2)$ の方向への方向微分係数を求めるには、まず $a$ を単位ベクトルにします。

$||a|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$u = \frac{a}{||a||} = (\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})$

方向微分係数は $(\nabla \varphi)_P \cdot u$ です。

$(\nabla \varphi)_P \cdot u = (1, 2, 2) \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}) = \frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(a) $(\nabla \varphi)_P = (1, 2, 2)$

(b) $n = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

(c) 3

(d) $\frac{\sqrt{6}}{2}$